mercoledì, 2 Dicembre, 2020

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L’arte della gravità: la geometria delle orbite

I corpi nello spazio, che siano pianeti, sonde o satelliti, dipingono sulla tela spaziale, tramite la mano della gravità, delle geometrie estremamente particolari, peculiari, ma molto conosciute in matematica.

Il cielo stellato: da sempre un motivo di meraviglia, di stupore. E da questo stupore, come sempre avviene nel cuore dell’uomo, la ricerca dei perché. Ed è da questa parola, da cui bisogna partire per comprendere il mondo attorno a noi. Da Brahe a Keplero, da Newton e poi fino ad Einstein, il movimento dei corpi nel cielo e di conseguenza le loro traiettorie orbitali, è sempre stato un motivo di studio. La gravità e le leggi della meccanica Newtoniana hanno aperto all’umanità un nuovo ventaglio di prospettive. In particolare la comprensione e descrizione matematica del moto dei corpi nello spazio.

Il problema degli N-corpi

Supponiamo di voler scoprire matematicamente come si comporterà un oggetto dotato di velocità in una zona in cui sono presenti le forze gravitazionali di un numero qualsiasi di corpi celesti. Come si può immaginare questa descrizione è estremamente complessa. Un corpo, in particolar modo un veicolo spaziale, nel suo moto nello spazio è soggetto a molteplici forze oltre che alla gravità. Queste sono la resistenza aerodinamica (se in orbita bassa intorno ad un corpo celeste dotato di atmosfera), la spinta dei propulsori e la pressione esercitata dalla radiazione solare.

Anche trascurando però questo tipo di forze, la descrizione del moto è ancora molto complessa. Tanto da portarci a semplificarlo ulteriormente, eliminando tutte le masse tranne il nostro veicolo spaziale e un corpo celeste che si attraggono reciprocamente (supponiamo che la massa del veicolo sia quasi trascurabile in confronto alla nostra stella, pianeta, o corpo qualsiasi). Si tratta perciò del Problema dei due Corpi.

La nostra descrizione del moto risulta estremamente semplificata. Grazie alle leggi di Newton ci troviamo di fronte ad un legame matematico tra il movimento del veicolo (la sua accelerazione)  e la sua posizione nel tempo: un’elegantissima equazione differenziale.

traiettorie orbitali
La forma della traiettoria di un razzo presenta caratteristiche geometriche molto particolari. Credits: SpaceX-Imagery (Pixabay).

Le traiettorie orbitali nello spazio

Durante il moto del nostro veicolo, molte delle grandezze che descrivono il suo stato sono variabili nel tempo. Ci sono però due costanti a cui possiamo affidare la nostra risoluzione: l’energia meccanica totale e il momento angolare. Ed è grazie a queste due invarianti del moto che la nostra equazione della traiettoria, ottenuta integrando l’equazione di cui sopra, prende forma.

L’equazione della traiettoria risulta essere quasi identica all’equazione polare di una sezione conica: una relazione che descrive una curva nel piano che, a seconda del valore di una grandezza chiamata eccentricità, dà vita a una delle quattro coniche:                                                                    

  • Circonferenza (e=0)
  • Ellisse (0<e<1)
  • Parabola (e=1)
  • Iperbole (e > 1)

Ma cosa rappresenta l’eccentricità? Come possiamo sapere a cosa corrisponde? L’analogia tra la geometria analitica e la soluzione del Problema dei due Corpi rivela una profonda connessione tra l’eccentricità e le costanti del moto, ossia l’energia meccanica e il momento angolare. La forma della nostra orbita è quindi perfettamente determinata da queste due grandezze, definite e costanti in ogni momento e in ogni punto del moto del veicolo spaziale.

Orbite a confronto

Le traiettorie orbitali più osservate sono le orbite chiuse dei pianeti e dei satelliti, che corrispondono a ellissi oppure, in casi particolari, a circonferenze. Questo tipo di orbite è prettamente definito dal fatto che l’energia meccanica totale possieda un valore negativo.

La parabola, al contrario, è il caso limite tra un’orbita aperta e una chiusa. Raramente osservato, corrisponde approssimativamente al moto di comete, e si ottiene con un’energia meccanica pari a zero, quando la velocità dell’oggetto è perfettamente quella di fuga, ossia quella necessaria ad uscire dal campo gravitazionale.

L’ultimo caso rimasto è quello di una traiettoria aperta, dove la velocità supera la velocità di fuga e l’energia meccanica è positiva, disegnando nel piano dell’orbita un ramo d’iperbole.

traiettorie orbitali
L’orbita dei pianeti del sistema solare è l’esempio per eccellenza di calcolo orbitale. Credits:LoganArt (Pixabay).

La matematica nelle traiettorie orbitali

Ciò che si comprende da questa somiglianza così profonda tra l’equazione della traiettoria e l’equazione polare delle coniche non può che farci pensare a come la matematica sia così profondamente insita nella natura stessa dell’universo.

A noi umani resta solo sviscerarla, descriverla, apprezzarne l’eleganza, e poi piegarla a nostro vantaggio per arrivare lì dove non siamo mai stati, perpetuando la nostra fame e la nostra sete di conoscere, di scoprire: il nostro essere esploratori.

A cura di Luigi Marchese

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  • Bate, Mueller, White: Fundamentals of Astrodynamics, Dover Publication, Inc., 1971