Curvatura dello spaziotempo: un'introduzione matematica

Si possono trovare in rete numerosi siti che riferiscono come il ricercatore Pascal Koiran della Scuola Normale di Lione ed anche uno studio condotto dalla Università cinese Jishou di Hunan, siano riusciti ad elaborare teorie secondo le quali un viaggio attraverso un Wormhole risulterebbe possibile in un futuro lontano, ma non irraggiungibile. Nulla di nuovo sotto il sole di Danimarca (pessimo riferimento ad Amleto). Già nel 1935 Albert Einstein e Nathan Rosen avevano stabilito che la Relatività Generale consente la creazione di un Tunnel virtuale nello spaziotempo; il guaio è che Weeler ha dimostrato, nel 1962, che tale tunnel è altamente instabile. Bene, stabilià o meno per creare un tunnel è necessario “ripiegare” su se stesso lo spaziotempo (magari anche più vote) ed una piega presuppone almeno una curva. A questo punto si rende indispensabile vedere cosa sia e come si possa misurare una Curvatura, in modo da introdurre la curvatura dello spaziotempo.

Curvatura locale di una superficie

Un concetto, ormai saldamente consolidato nella cultura anche non specialistica, è che lo spaziotempo, nel quale siamo immersi e viviamo, sia localmente curvo. Ci ha pensato Albert Einstein con il geniale contributo di Herman Minkowski e, non dimentichiamolo, di Ricci Curbastro, a dare una veste teorica, completa e rigorosa al concetto di curvatura dello Spaziotempo.

Curvatura dello spaziotempo: curvatura gaussiana

Ora è arrivato il momento di chiarire il concetto di curvatura locale di una superficie. La Natura ha posto un limite alla comprensione di spazi n dimensionali; siamo esseri tridimensionali e la stessa immaginazione è impotente di fronte a tale limite. Quindi, uno studio relativo alla curvatura locale deve, necessariamente, riferirsi a superfici bidimensionali immerse in spazi 3D.

Per semplicità e qualità grafica la superficie prescelta (2D) è quella di una sfera (nello spazio 3D). Un foglio di carta, caoticamente accartocciato, può presentare, in molti punti, “punte”, “spigoli” , “pieghe”, tali da rendere la propria geometria locale totalmente divergente da quella di un piano. La curvatura gaussiana è volta a rendere matematicamente definibile e misurabile tale fenomeno.

Naturalmente, tutto ciò avvicina ben poco alla comprensione della curvatura dello spaziotempo: quest’ultimo ha 4 dimensioni e non le 3 della curvatura locale di Gauss. La soluzione completa prende avvio dal concetto di “Trasporto vettoriale parallelo”. Ma di ciò parleremo in un prossimo articolo, per ora limitiamoci a rimanere nel nostro limitato spazio tridimensionale.

Curvatura locale di una curva piana (2D)

Una curvatura locale è la variazione dello scostamento tra punto P e punto P + dP della tangente alla curva S.

La variazione del parametro “derivata” di una funzione è la derivata seconda della funzione stessa: d(tg_P) / ds = d²(S)/ds²= derivata II di S in P = variazione tg S in P +dP. La derivata seconda in P della curva piana S rappresenta la curvatura locale (inP) di S.

Superficie 2D in uno spazio 3D

Alcune definizioni che ci torneranno utili:

S = superficie in esame (sferica per semplicità grafica);
P = punto di rilevamento curvatura;
Σ = piano tang a S in P;
dS = intorno differenziale di P su Σ;
n = normale a S (quindi anche a Σ) in P;
Ni = piani normali a Σ ( quindi anche a S in dS);
Ci = curve generate da intersezione di Ni su S;
y ( FIG.7) = tg a C giacente su dS;
tg φ = derivata prima di C giacente su dS.

Scelto il punto P ove calcolare la curvatura della superficie S, si tracci il piano tangente in P a S e si, selezioni una sua porzione defferenziale dS e la normale a dS in P (FIG.1). Si tracci il fascio di piani in n (N1, N2, …, Ni) (FIG.2) che intersecano dS secondo le curve Ci (FIG.3, 4). Le Ci appartengono sia a dS (che è una porzione di piano) che a S a meno di differenziali di ordine superiore, pertanto sulle Ci è possibile definire la curvatura gaussiana in P.

Variazione infinitesima di tgφ= ∂Ci/∂x = ∂²Ci/∂x² = ki (01)

In un intorno differenziale di P, la curva Ci giace nel piano dS. La relazione (01) rappresenta la applicazione integrale della definizione di curvatura locale di una curva piana, così come illustrato nel primo paragrafo.

Poiché i piani normali N1, N2, N3, …, Ni (FIG.2) sono infiniti si otterrà una successione infinita di Ki; siano rispettivamente kmax e kmin i valori max e min di ki: viene definita curvatura locale della superficie S in P il prodotto:

K = k_max . k_min(01)

Curvatura dello spaziotempo: conclusione

Sembrerebbe proprio che, a questo punto, non si sia raggiunto nessun risultato utile: nessuna spiegazione di cosa sia e come sia calcolabile la curvatura in ogni punto dei wormhole, nessuna buona notizia sulla curvatura dello Spaziotempo. Tutto ciò verrà chiarito nei nei prossimi articoli ma, per ora, un solo, banale, insignificante, elementare accenno al Trasporto vettoriale parallelo: trasportare dal punto A al punto B di una curva piana un vettore mantenendo il parallelismo dello stesso, è assolutamente intuitivo (FIG.6).

Nel caso in cui si voglia mantenere anche la tangenza alla curva, risulta impossibile garantire il parallelismo (FIG.7). Questo nel piano e nello spazio 3D: cosa succede nello Spaziotempo e in uno spazio 2D curvo? Ai prossimi articoli l’ardua sentenza.