Tra sogno e realtà: cosa sono le Equazioni di Navier-Stokes?

A cura di Alessandro Scala

Esistono, ad oggi, sette grandi problemi irrisolti della matematica moderna, aventi il nome di Millennium Problems, istituiti il 24 Maggio del 2000 dal Clay Mathematician Istitute. Questi comprendono problemi che spaziano dalla ormai celebre congettura d Riemann fino ad arrivare appunto alla soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes. Ma cosa sono effettivamente queste equazioni?

In fluidodinamica, le equazioni di Navier-Stokes, pane quotidiano per un ingegnere aeronautico, costituiscono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) non lineari che descrivono il comportamento di un fluido viscoso a livello macroscopico. La ipotesi cardine alla base della formulazione di queste equazioni è quella di considerare il fluido come un continuo strettamente deformabile; viene meno dunque una ipotesi restrittiva di sistema materiale continuo rigido.

Queste equazioni vennero formulate per la prima volta da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes e costituiscono il modello fondamentale di descrizione del comportamento di un fluido a livello macroscopico. Ad oggi però, non è stato ancora possibile determinare una soluzione in forma chiusa per questo problema differenziale, nonostante vari tentativi, ultimo dei quali, fallimentare come i precedenti, risalente al 2014.

Le famose equazioni

Ma quali sono queste equazioni e cosa ne rende “impossibile” la risoluzione? Va detto però che i moderni modelli computazionali, uniti alle notevoli capacità dei calcolatori moderni, ha permesso di determinare soluzioni numeriche approssimate delle N-S e alcune, ma poche soluzioni analitiche (vedesi moti alla Pousille e alla Couette), sotto ipotesi estremamente semplificatrici fatte sul fluido preso in esame.

Le equazioni di N-S sono direttamente discendenti dalle equazioni di bilancio valevoli per un sistema termofluidodinamico aperto, ovvero dalla equazione di conservazione della massa, equazione di conservazione della quantità di moto ed equazione di bilancio della energia totale.

Credits: NASA/Glenn Research Center

Al fine di derivare queste equazioni, mostrate in foto, bisogna chiarire alcuni aspetti. In particolar modo, al fine di studiare il moto di un fluido abbiamo due possibili approcci: la rappresentazione lagrangiana e quella euleriana. La differenza netta tra le due risiede nel fatto che, mentre nella prima supponiamo, ”metaforicamente”, di porci a cavallo di una singola particella elementare fluida e di seguirla nella sua evoluzione cinematico/dinamica, nella seconda, la nostra attenzione viene soffermata su un fissato volume nello spazio, detto volume di controllo, andando a studiare cosa accade ad una data massa di fluido che ivi transita nel tempo. Generalmente, in meccanica dei fluidi, si usa adottare una rappresentazione euleriana.

In altri termini, dalla seconda equazione, si deduce che la accelerazione di una particella fluida è legata ai termini di natura dissipativa viscosa e ai tassi di variazione spaziale della pressione.

La non linearità delle equazioni, e dunque la non risolvibilità, discende dai termini di natura convettiva presenti all’interno di queste cinque equazioni differenziali in cui compaiono la bellezza di 20 incognite!

Considerando però, le enormi applicazioni che queste equazioni hanno, dalla aerodinamica, alla idrodinamica, fino ad arrivare alla modellizzazione matematica del flusso di sangue nelle vene, c’è veramente da chiedersi quando qualche “collega” matematico riuscirà nella ardua impresa.

Per il momento non rimane che sperare ed attendere. Dopotutto, le equazioni di Navier-Stokes non hanno soluzioni analitiche, ma comunque l’uomo è riuscito a spiccare il volo!