Equazioni Navier-Stokes: perché così complesse?

Molto bella l’estate! Per non parlare del mare… Ma c’è qualcuno, tra di voi, che si è soffermato a constatare l’inconcepibile complessità del movimento dell’acqua? A tratti sembra regolare, quando l’onda si avvicina alla riva, ma pochi istanti dopo diventa immediatamente imprevedibile, quando l’onda si infrange suddividendosi in migliaia di correnti e bolle mentre supera l’onda precedente che nel frattempo si sta ritirando. Ebbene, questa complessità è regolata dalle fantastiche Equazioni di Navier-Stokes.

L’aria e l’acqua, i due fluidi fondamentali per la nostra stessa esistenza, hanno comportamenti incredibilmente difficili da descrivere, e per questo costituiscono una delle sfide più interessanti della matematica applicata, che ha appunto il compito di trovare dei modelli in grado di spiegare i fenomeni reali al fine di poterli prevedere.

A confronto, il comportamento dei corpi solidi è decisamente più semplice da descrivere. E quando si abbandona il campo dei solidi per intraprendere quello dei liquidi e dei gas, ecco che lo studio appare molto meno banale.

Perché questa netta differenza di difficoltà?

I solidi sono costituiti da molecole ben ordinate (quando la struttura è perfettamente uniforme e regolare si parla di “cristalli”), che possono muoversi dalla loro posizione, ma solo di poco. Per descrivere la deformazione di un solido, si può quindi utilizzare quello che viene chiamato un approccio “lagrangiano“: ci si concentra su di una particella del solido e si guarda dove essa si sposta a seguito del campo di forze a cui la si sottopone. Quando invece si ha a che fare con dei fluidi, che possono essere liquidi o gassosi, le molecole, pur interagendo fra loro, non sono più legate indissolubilmente, bensì libere di muoversi ovunque all’interno del recipiente che le contiene. Proprio per questo bisogna passare a quello che viene detto approccio “euleriano”: ci si concentra su di un volume ben fissato nello spazio e si analizzano le sue proprietà mano a mano che il fluido gli circola all’interno.

Quindi, per riassumere, le equazioni di Navier-Stokes non fanno altro che illustrarci il moto dei fluidi, esprimendo il concetto generale per cui l’accelerazione delle particelle fluide è il risultato delle variazioni di pressione e dell’azione delle forze viscose dissipative che agiscono all’interno di un fluido.

Tutto molto bello. Ma qual è la difficoltà di queste equazioni?

È presto detto. Il moto di un fluido presenta sempre una componente di accelerazione non stazionaria e una convettiva.

La componente convettiva, in particolare, è quella “problematica”: infatti, rende non lineari le equazioni differenziali alle derivate parziali, rendendo impossibile una soluzione definita. Mentre le ipotesi sulle condizioni iniziali e al contorno determinano la natura delle equazioni:

• Equazione iperbolica: correnti di fluido non viscoso, stazionarie e supersoniche oppure non stazionarie, supersoniche e subsoniche;
• Equazione parabolica: corrente stazionaria di fluido viscoso newtoniano, comprimibile o meno, con termini degli sforzi trascurabili in una direzione dello spazio;
• Equazione ellittica: moto stazionario subsonico di fluidi non viscosi.

C’è da aggiungere una piccola clausola: per determinate condizioni, come flusso tra lastre piane, flusso di Couette etc, i termini non lineari si annullano. Tale condizione permette l’identificazione di una soluzione analitica.

Per il resto, la loro risoluzione rientra ancora tra i 7 Problemi per il millennio. Se desiderate vincere un milione di dollari, non resta altro che cimentarsi! Buona fortuna!